Bayes Theorem
Das Bayes-Theorem (auch Satz von Bayes) ist ein Grundsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, benannt nach dem englischen Mathematiker Thomas Bayes (1701 bis 1761). Es beschreibt, wie sich die Wahrscheinlichkeit einer Annahme ändert, wenn neue Informationen hinzukommen, zum Beispiel ein Testergebnis.
In der genetischen Diagnostik ist es äußerst nützlich: Es zeigt, welchen tatsächlichen Aussagewert ein Testergebnis für das einzelne Tier hat, und es steckt in der Berechnung von Abstammungswahrscheinlichkeiten und Trägerwahrscheinlichkeiten.
Die Formel
P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)
- P(A): die Wahrscheinlichkeit der Annahme A, bevor die neue Information vorliegt (A-priori-Wahrscheinlichkeit). Beispiel: Wie häufig ist eine Erkrankung in der Rasse?
- P(B | A): die Wahrscheinlichkeit, die Information B zu beobachten, wenn A zutrifft. Beispiel: Wie oft ist der Test bei einem erkrankten Tier positiv (Sensitivität)?
- P(B): die Gesamtwahrscheinlichkeit, die Information B zu beobachten, ob A zutrifft oder nicht.
- P(A | B): die Wahrscheinlichkeit der Annahme A, nachdem die Information B berücksichtigt ist (A-posteriori-Wahrscheinlichkeit). Beispiel: Wie wahrscheinlich ist ein Tier mit positivem Test tatsächlich erkrankt?
Beispiel: Wie aussagekräftig ist ein positives Testergebnis?
Ein Test erkennt 99 % der erkrankten Tiere (Sensitivität 99 %) und stuft 99 % der gesunden Tiere richtig als negativ ein (Spezifität 99 %). Die Erkrankung kommt bei 1 % der Tiere vor. Von 10.000 getesteten Tieren gilt dann:
| erkrankt (100 Tiere) | gesund (9.900 Tiere) | |
|---|---|---|
| Test positiv | 99 (richtig positiv) | 99 (falsch positiv) |
| Test negativ | 1 (falsch negativ) | 9.801 (richtig negativ) |
Von den 198 Tieren mit positivem Ergebnis sind nur 99 tatsächlich erkrankt. Ein positives Ergebnis bedeutet hier also nur mit 50 % Wahrscheinlichkeit eine Erkrankung (positiver Vorhersagewert), obwohl der Test selbst sehr genau ist. Ursache ist die Seltenheit der Erkrankung: Bei vielen gesunden Tieren fallen auch wenige Fehler ins Gewicht.
Für DNA-Tests auf eine bekannte Mutation sind Sensitivität und Spezifität in der Regel so hoch, dass dieser Effekt kaum eine Rolle spielt. Wichtig wird er bei Tests mit geringerer Genauigkeit, bei sehr seltenen Erkrankungen und bei Merkmalen, die nicht allein von einer Mutation abhängen.
Anwendungen in der Tiergenetik
- Abstammungsbeurteilung: Aus der Likelihood Ratio (LR) einer Abstammungsanalyse wird mit dem Bayes-Theorem die Abstammungswahrscheinlichkeit. Bei einer neutralen A-priori-Annahme von 50 % gilt: Abstammungswahrscheinlichkeit = LR / (LR + 1).
- Trägerwahrscheinlichkeit: Erkrankt in einem Wurf ein Tier an einer rezessiven Erbkrankheit, sind beide Elterntiere Träger. Ein gesundes Wurfgeschwister ist dann nicht mit 50 %, sondern mit 2/3 Wahrscheinlichkeit Träger: Von den möglichen Genotypen N/N (1/4), N/a (1/2) und a/a (1/4) scheidet a/a aus, weil das Tier gesund ist, und es bleibt (1/2) / (3/4) = 2/3. Gewissheit bringt erst der DNA-Test.
- Stammbaumberechnungen: Auf dieselbe Weise lässt sich für jedes Tier im Stammbaum berechnen, wie wahrscheinlich es eine bestimmte Anlage trägt, wenn für einzelne Verwandte Testergebnisse oder Krankheitsbefunde vorliegen.
- Genetische Auswertungen: Bayes'sche Verfahren werden auch zur Berechnung von Stammbäumen in der Kladistik (siehe Klade und Kladogramm) und in der genomischen Zuchtwertschätzung eingesetzt.
Nützliche Links - Literatur
Lexikon:
Literatur:
- Bayes, T.: An essay towards solving a problem in the doctrine of chances.Philos Trans R Soc Lond 53:370-418, 1763. DOI: 10.1098/rstl.1763.0053
- Trevethan, R.: Sensitivity, specificity, and predictive values: foundations, pliabilities, and pitfalls in research and practice.Front Public Health 5:307, 2017. DOI: 10.3389/fpubh.2017.00307